OpenGL中投影矩阵的推导

本文主要是对OpenGL红宝书（第八版）第五章中给出的透视投影矩阵和正交投影矩阵做一个简单推导。投影矩阵的目的是：原始点P（x,y,z）对应后投影点P"（x",y",z"）满足x",y",z"∈[-1,1]。OpenGL编程指南（原书第八版2013年最新）英文PDF 下载见 http://www.linuxidc.com/Linux/2015-08/122230.htmOpenGL编程指南（原书第7版）中文扫描版PDF 下载见 http://www.linuxidc.com/Linux/2012-08/67925.htm 一、透视投影下图为透视投影的视锥体：注：上图中忘了标注了，远裁剪平面距离原点距离为f，近裁剪平面距离原点距离为n。设P（x0, y0, z0），我们分别求各个坐标在投影后的值。将P点投影到近平面上，首先看x方向上的投影，沿着过P点，且平行于xoz平面切一刀，有如下图：假设投影后的x坐标为：x_n（在近裁剪平面的投影），由相似三角形的性质，有，可以得到：同理，有这样其实实现了透视投影，近大远小的效果，因为z0越大，则x1，y1就越小。为了将这两个值转换到[-1,1]区间内，设l和r分别为近裁剪平面左、右边框的x坐标，即l=-w/2，r=w/2（如图所示，w为上下边框的长度），为了使任何投影到近裁剪平面的点都在区间内，转换后，[l",r"]∈[0,1]，其中l",r"分别为l和r转换后的值。因为是线性转换，可领x"=kx+b，则下式成立：求得，再根据之前的结果，可以得到归一化后的x坐标为：同理，设t和p分别为近裁剪平面上下边框的y坐标，则：投影后的坐标都有一个共同因子——[-1/z0]，正好对应变换后w=-z0。接下来，我们看z要满足什么要求。为简化讨论，根据以上结论，我们假设透视变换有下述形式：于是：最后的变换矩阵如下：OpenGL超级宝典第4版中文版PDF+英文版+源代码 见 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-10/91413.htmOpenGL 渲染篇 http://www.linuxidc.com/Linux/2011-10/45756.htmUbuntu 13.04 安装 OpenGL http://www.linuxidc.com/Linux/2013-05/84815.htmOpenGL三维球体数据生成与绘制【附源码】 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-04/83235.htmUbuntu下OpenGL编程基础解析 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-03/81675.htm如何在Ubuntu使用eclipse for c++配置OpenGL http://www.linuxidc.com/Linux/2012-11/74191.htm 更多《OpenGL超级宝典学习笔记》相关知识见 http://www.linuxidc.com/search.aspx？where=nkey&keyword=34581本文永久更新链接地址：http://www.linuxidc.com/Linux/2015-08/122229.htm