OpenGL超级宝典学习笔记——贝塞尔曲线和曲面

参数方程表现形式

在中学的时候，我们都学习过直线的参数方程：y = kx + b;其中k表示斜率，b表示截距（即与y轴的交点坐标）。类似地，我们也可以用一个参数方程来表示一条曲线。1962年，法国工程师贝塞尔发明了贝塞尔曲线方程。关于贝塞尔曲线的详细介绍可以参考（维基贝塞尔）。这里只介绍OpenGL实现贝塞尔的函数。OpenGl定义一条曲线时，也把它定义为一个曲线方程。我们把这条曲线的参数成为u,它的值域就是曲线的定义域。曲面则需要u和v两个参数来描述。注意，u和v参数只表示了描述曲线的参数方程的范围，它们并没有反映实际的坐标值。其坐标可以表示为:x = f（u）; y = g（u）; z = h（u）;如下图：

控制点

贝塞尔曲线的形状由控制点来控制。贝塞尔曲线的控制点个数为曲线的阶。根据控制点的个数，贝塞尔曲线又分为二次贝塞尔曲线，三次贝塞尔曲线，高阶贝塞尔曲线。

线性曲线

线性贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

二次方曲线

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q₀和Q₁作为由0至1的t：

由P₀至P₁的连续点Q₀，描述一条线性贝塞尔曲线。
由P₁至P₂的连续点Q₁，描述一条线性贝塞尔曲线。
由Q₀至Q₁的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。

二次贝塞尔曲线的结构
二次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

三次方曲线

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲线描述的点R₀、R₁所建构：
三次贝塞尔曲线的结构
三次贝塞尔曲线演示动画，t in [0,1]

连续性

两段曲线是否相连接，代表这两段曲线是否连续的。曲线的连续性分为4种，无连续，点连续，正切连续，曲率连续。下图分别表示了这几种情况：其中曲率连续的曲线过渡的更平滑。我们可以通过参数来设置曲线的连续性。

求值器

OpenGL提供了一些函数来绘制贝塞尔曲线和曲面。我们只需要提供控制点和u,v作为参数，然后调用求值函数来绘制曲线。2D曲线的例子：//控制点 GLint numOfPoints = 4; static GLfloat controlPoints[4][3] = {{-4.0f, 0.0f, 0.0f},{-6.0f, 4.0f, 0.0f},{6.0f, -4.0f, 0.0f},{4.0f, 0.0f, 0.0f}}; void SetupRC（）{ glClearColor（0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f）; glColor3f（1.0f, 0.0f, 1.0f）;} //画控制点void DrawPoints（）{ glPointSize（2.5f）; glBegin（GL_POINTS）; for （int i = 0; i < numOfPoints; ++i） { glVertex3fv（controlPoints[i]）; } glEnd（）;} void ChangeSize（GLsizei w, GLsizei h）{ if （h == 0） { h = 1; } glViewport（0, 0, w, h）; //使用正交投影 glMatrixMode（GL_PROJECTION）; glLoadIdentity（）; gluOrtho2D（-10.0f, 10.0f, -10.0f, 10.0f）; glMatrixMode（GL_MODELVIEW）; glLoadIdentity（）;} void RenderScene（）{ glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT）; //设置贝塞尔曲线，这个函数其实只需要调用一次，可以放在SetupRC中设置 glMap1f（GL_MAP1_VERTEX_3, //生成的数据类型 0.0f, //u值的下界 100.0f, //u值的上界 3, //顶点在数据中的间隔，x,y,z所以间隔是3 numOfPoints, //u方向上的阶，即控制点的个数 &controlPoints[0][0] //指向控制点数据的指针）; //必须在绘制顶点之前开启 glEnable（GL_MAP1_VERTEX_3）; //使用画线的方式来连接点 glBegin（GL_LINE_STRIP）; for （int i = 0; i <= 100; i++） { glEvalCoord1f（（GLfloat）i）; } glEnd（）; DrawPoints（）; glutSwapBuffers（）;} 在RenderScene函数中调用glMap1f来为曲线创建映射。第一个参数为GL_MAP1_VERTEX3，设置求值器产生顶点为三元组（x,y,z）.还可以设置为产生纹理坐标和颜色信息。参考glMap1.后面的两个参数设定了u的取值范围[0,100]，第四个参数指定了顶点在数组中的间隔，由于顶点是由3个浮点数组成，所以间隔是3.第五个参数指定了控制点的个数，最后一个参数是控制点数组。然后我们需要启用求值器，调用如下：glEnable（GL_MAP1_VERTEX3）;glEvalCoord1f函数，接受一个参数为曲线的参数值。调用这个函数会通过求值函数求出顶点坐标值，然后内部调用了glVertex。这里使用连线的方式来连接这些顶点：glBegin（GL_LINE_STRIP）;

for（i = 0; I <= 100; i++）{ glEvalCoord1f（（GLfloat）i）;}

glEnd（）;

计算曲线

OpenGl还提供了更简单的方式来完成上面的任务。我们可以通过glMapGrid函数来设置一个网格，来告诉OpenGL在u的值域的范围内创建一个包含各个点的空间对称的网格。然后，我们调用glEvalMesh，使用指定的图元（GL_LINE或GL_POINTS）来链接各个点。我们用下面的两个函数调用 glMapGrid1f（100, 0.0f, 100.0f）; glEvalMesh1（GL_LINE, 0, 100）; 可以替换下面的代码glBegin（GL_LINE_STRIP）; for （int i = 0; i <= 100; i++） { glEvalCoord1f（（GLfloat）i）; }glEnd（）; 使用这种方式更为紧凑。

3D表面

创建一个贝塞尔曲面与创建一个贝塞尔曲线类似。除了给出u的定义域之外，还要给出v的定义域。下面的例子是创建一个贝塞尔曲面。与之前不同的是，我们沿着v的定义域定义了3组控制点。为了保持曲面的简单，这几组控制点只是z值不同。用这种方式画的曲面，看起来像是曲线沿z轴的扩展。//控制点 GLint nNumPoints = 3;GLfloat ctrlPoints[3][3][3]= {{{ -4.0f, 0.0f, 4.0f}, { -2.0f, 4.0f, 4.0f}, { 4.0f, 0.0f, 4.0f }},{{ -4.0f, 0.0f, 0.0f}, { -2.0f, 4.0f, 0.0f}, { 4.0f, 0.0f, 0.0f }},{{ -4.0f, 0.0f, -4.0f}, { -2.0f, 4.0f, -4.0f}, { 4.0f, 0.0f, -4.0f }}}; //画控制点 void DrawPoints（void）{ int i,j; glColor3f（1.0f, 0.0f, 0.0f）; //把点放大一点，看得更清楚 glPointSize（5.0f）; glBegin（GL_POINTS）; for（i = 0; i < nNumPoints; i++） for（j = 0; j < 3; j++） glVertex3fv（ctrlPoints[i][j]）; glEnd（）;} void RenderScene（void）{ // Clear the window with current clearing color glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT）; // 保存模型视图矩阵 glMatrixMode（GL_MODELVIEW）; glPushMatrix（）; //旋转一定的角度方便观察 glRotatef（45.0f, 0.0f, 1.0f, 0.0f）; glRotatef（60.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f）; glColor3f（0.0f, 0.0f, 1.0f）; //设置映射方式，只需要设置一次可以在SetupRC中调用。 glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3, //生成的数据类型 0.0f, // u的下界 10.0f, //u的上界 3, //数据中点的间隔 3, //u方向上的阶 0.0f, //v的下界 10.0f, //v的上界 9, // 控制点之间的间隔 3, // v方向上的阶 &ctrlPoints[0][0][0]）; //控制点数组 //启用求值器 glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）; //从0到10映射一个包含10个点的网格 glMapGrid2f（10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f）; // 计算网格 glEvalMesh2（GL_LINE,0,10,0,10）; //画控制点 DrawPoints（）; glPopMatrix（）; glutSwapBuffers（）;} 在这里我们用glMap2f替换了之前的glMap1f, 这个函数指定了u和v两个域上的点。除了指定u的上界和下界之外，还要指定v的上界和下界。v定义域内点的距离是9，因为这里使用了3维数组，包含了3个u值，每个u值又包含了3个点，3x3=9。然后指定v方向上的阶，??每个u分支上v方向有多少个点。最后一个参数是指向控制点的指针。然后我们设置求值器.//启用求值器glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;
//从0到10映射一个包含10个点的网格glMapGrid2f（10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f）;计算网格网格表面，用线的方式表示。// 计算网格
glEvalMesh2（GL_LINE,0,10,0,10）;

光照和法线

求值器还可以帮我们生成表面的法线，只需简单的修改一些代码：把glEvalMesh2（GL_LINE, 0, 10, 0, 10）;替换为glEvalMesh2（GL_FILL, 0, 10, 0, 10）;然后在初始化时 SetupRC中调用glEnable（GL_AUTO_NORMAL）;就可以得到一个收到光照的曲面了。OpenGL超级宝典第4版中文版PDF+英文版+源代码 见 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-10/91413.htmOpenGL编程指南（原书第7版）中文扫描版PDF 下载 http://www.linuxidc.com/Linux/2012-08/67925.htmOpenGL 渲染篇 http://www.linuxidc.com/Linux/2011-10/45756.htmUbuntu 13.04 安装 OpenGL http://www.linuxidc.com/Linux/2013-05/84815.htmOpenGL三维球体数据生成与绘制【附源码】 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-04/83235.htmUbuntu下OpenGL编程基础解析 http://www.linuxidc.com/Linux/2013-03/81675.htm如何在Ubuntu使用eclipse for c++配置OpenGL http://www.linuxidc.com/Linux/2012-11/74191.htm 更多《OpenGL超级宝典学习笔记》相关知识见 http://www.linuxidc.com/search.aspx？where=nkey&keyword=34581本文永久更新链接地址：http://www.linuxidc.com/Linux/2015-02/114025.htm