首页 / 软件开发 / 数据结构与算法 / 浅谈算法和数据结构 八 平衡查找树之2-3树

浅谈算法和数据结构 八 平衡查找树之2-3树2015-02-27前面介绍了二叉查找树（Binary Search Tree），他对于大多数情况下的查找和插入在效率上来说是没有问题的，但是他在最差的情况下效率比较低。本文及后面文章介绍的平衡查找树的数据结构能够保证在最差的情况下也能达到lgN的效率，要实现这一目标我们需要保证树在插入完成之后始终保持平衡状态，这就是平衡查找树（Balanced Search Tree）。在一棵具有N 个节点的树中，我们希望该树的高度能够维持在lgN左右，这样我们就能保证只需要lgN次比较操作就可以查找到想要的值。不幸的是，每次插入元素之后维持树的平衡状态太昂贵。所以这里会介绍一些新的数据结构来保证在最坏的情况下插入和查找效率都能保证在对数的时间复杂度内完成。本文首先介绍2-3查找树（2-3 Search Tree），后面会在此基础上介绍红黑树和B树。

定义

和二叉树不一样，2-3树运行每个节点保存1个或者两个的值。对于普通的2节点（2-node），他保存1个key和左右两个自己点。对应3节点（3-node），保存两个Key，2-3查找树的定义如下：

1. 要么为空，要么：

2. 对于2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点，左节点也是一个2-3节点，所有的值都比key有效，有节点也是一个2-3节点，所有的值比key要大。

3. 对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。左节点也是一个2-3节点，所有的值均比两个key中的最小的key还要小；中间节点也是一个2-3节点，中间节点的key值在两个跟节点key值之间；右节点也是一个2-3节点，节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大。

如果中序遍历2-3查找树，就可以得到排好序的序列。在一个完全平衡的2-3查找树中，根节点到每一个为空节点的距离都相同。

查找

在进行2-3树的平衡之前，我们先假设已经处于平衡状态，我们先看基本的查找操作。

2-3树的查找和二叉查找树类似，要确定一个树是否属于2-3树，我们首先和其跟节点进行比较，如果相等，则查找成功；否则根据比较的条件，在其左中右子树中递归查找，如果找到的节点为空，则未找到，否则返回。查找过程如下图：

插入

往一个2-node节点插入

往2-3树中插入元素和往二叉查找树中插入元素一样，首先要进行查找，然后将节点挂到未找到的节点上。2-3树之所以能够保证在最差的情况下的效率的原因在于其插入之后仍然能够保持平衡状态。如果查找后未找到的节点是一个2-node节点，那么很容易，我们只需要将新的元素放到这个2-node节点里面使其变成一个3-node节点即可。但是如果查找的节点结束于一个3-node节点，那么可能有点麻烦。