Kruskal算法（二） C++详解

Kruskal算法（二） C++详解2014-12-15

最小生成树

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。

具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

克鲁斯卡尔算法图解

以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示（假设，用数组R保存最小生成树结果）。

第1步：将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步：将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步：将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步：将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步：将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步：将边<A,B>加入R中。

上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"（关于这一点，后面会通过图片给出说明）。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。以下图来进行说明：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

（01） C的终点是F。

（02） D的终点是F。

（03） E的终点是F。

（04） F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

克鲁斯卡尔算法的代码说明

有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 边的结构体class EData{public:char start; // 边的起点char end; // 边的终点int weight; // 边的权重public:EData（）{}EData（char s, char e, int w）:start（s）,end（e）,weight（w）{}};

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

class MatrixUDG {#define MAX100#define INF（~（0x1<<31））// 无穷大（即0X7FFFFFFF）private:char mVexs[MAX];// 顶点集合int mVexNum; // 顶点数int mEdgNum; // 边数int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵public:// 创建图（自己输入数据）MatrixUDG（）;// 创建图（用已提供的矩阵）//MatrixUDG（char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen）;MatrixUDG（char vexs[], int vlen, int matrix[][9]）;~MatrixUDG（）;// 深度优先搜索遍历图void DFS（）;// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）void BFS（）;// prim最小生成树（从start开始生成最小生成树）void prim（int start）;// 克鲁斯卡尔（Kruskal）最小生成树void kruskal（）;// 打印矩阵队列图void print（）;private:// 读取一个输入字符char readChar（）;// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置int getPosition（char ch）;// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int firstVertex（int v）;// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int nextVertex（int v, int w）;// 深度优先搜索遍历图的递归实现void DFS（int i, int *visited）;// 获取图中的边EData* getEdges（）;// 对边按照权值大小进行排序（由小到大）void sortEdges（EData* edges, int elen）;// 获取i的终点int getEnd（int vends[], int i）;};