HDU 2048：递推&错排概率

HDU 2048：递推&错排概率2014-10-06 csdn synapse7神、上帝以及老天爷

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php？pid=2048

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Problem Description

HDU 2006"10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n（1<n<=20）,表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数（四舍五入），具体格式请参照sample output。

Sample Input

Sample Output

50.00%

思路：

1. N张字条的所有可能排列自然是N！（分母）。现在的问题就是求N张字条的错排数f（N）（分子）。首先我们考虑，如果前面N-1个人拿的都不是自己的票，即前N-1个人满足错排，现在又来了一个人，他手里拿的是自己的票。只要他把自己的票与其他N-1个人中的任意一个交换，就可以满足N个人的错排。这时有（N-1）*f（N-1）种方法。

Besides，我们考虑，如果前N-1个人不满足错排，而第N个人把自己的票与其中一个人交换后恰好满足错排。这种情况发生在原先N-1人中，N-2个人满足错排，有且仅有一个人拿的是自己的票，而第N个人恰好与他做了交换，这时候就满足了错排。又因为前N-1个人中，每个人都有机会拿着自己的票。所以有N-1种交换的可能。故这时有（N-1）*f（N-2）种方法。

综上所述：f（N）=（N-1）*[f（N-1）+f（N-2）]

2. 另一种推导思路是先通过容斥定理直接计算出错排数f（n）=n！（1/2！-1/3！+…..+（（-1）^n）/n！）

所以f（n）/n！-f（n-1）/（n-1）！=（（-1）^n）/n！

两边同时乘上n！有f（n）-n*f（n-1）=（-1）^n

所以f（n-1）-（n-1）*f（n-2）=（-1）^（n-1）=（-1）*[f（n）-n*f（n-1）]

化简得f（n）=（n-1）*[f（n-1）+f（n-2）]

3. 通过错位排列数的简化公式

来计算（参考维基百科）

完整代码：

/*0ms,224KB*/#include<cstdio>#include<cmath>const double e = exp（1.0）;double p[21];int main（）{double temp = 1.0;int t, n, i;for （i = 2; i <= 20; ++i）{temp *= i;p[i] = round（temp / e） / temp;}scanf（"%d", &t）;while （t--）{scanf（"%d", &n）;printf（"%.2f%%
", p[n] * 100.0）;}return 0;}

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