全排列的编码与解码：康托展开 （附完整代码）2014-07-28 csdn博客 synapse7一、康托展开：全排列到一个自然数的双射X=an*（n-1）！+an-1*（n-2）！+...+ai*（i-1）！+...+a2*1！+a1*0！ai为整数，并且0<=ai<i（1<=i<=n）适用范围：没有重复元素的全排列二、全排列的编码：{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n！种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2！个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1！=1 所以小于32的{1,2,3}排列数有2*2！+1*1！=5个。所以321是第6个大的数。2*2！+1*1！是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3！，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2！ 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1！，所以比1324小的排列有0*3！+1*2！+0*1！=2个，1324是第三个大数。又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8！+3*7！+4*6！+2*5！+0*4！+0*3！+2*2！+0*1！+0*0！=98884.解释：排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8！个，因此第一项为2*8！排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7！个，因此第二项为3*7！以此类推，直至0*0！
#include<cstdio>const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘int KT（int s[], int n）{int i, j, cnt, sum;sum = 0;for （i = 0; i < n; ++i）{cnt = 0;for （j = i + 1; j < n; ++j）if （s[j] < s[i]） ++cnt;sum += cnt * fac[n - i - 1];}return sum;}int main（）{int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};printf（"%d
", 1 + KT（a, sizeof（a） / sizeof（*a）））; ///1+98884}三、全排列的解码如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？1. 首先用16-1得到152. 用15去除4！ 得到0余153. 用15去除3！ 得到2余34. 用3去除2！ 得到1余15. 用1去除1！ 得到1余0有0个数比它小的数是1，所以第一位是1有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5最后一个数只能是2所以排列为1 4 3 5 2
#include<cstdio>#include<cstring>const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘bool vis[10];///n为ans大小，k为全排列的编码void invKT（int ans[], int n, int k）{int i, j, t;memset（vis, 0, sizeof（vis））;--k;for （i = 0; i < n; ++i）{t = k / fac[n - i - 1];for （j = 1; j <= n; j++）if （！vis[j]）{if （t == 0） break;--t;}ans[i] = j, vis[j] = true;k %= fac[n - i - 1];///余数}}int main（）{int a[10];invKT（a, 5, 16）;for （int i = 0; i < 5; ++i）printf（"%d ", a[i]）;///1 4 3 5 2} 
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