算法系列（十三） 椭圆的生成算法2014-04-30 csdn博客 吹泡泡的小猫椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图 形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为（x – x0）2 / a2+ （y – y0）2 / b2 = 1，其中（x0, y0）是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当（x0, y0）就是坐标 中心点时，椭圆方程可以简化为x2 / a2 + y2 / b2 = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵 输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原 点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：
图（1）椭圆的对称性中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对 称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是（x, y），则椭圆在另外三个象限的对称点分别是 （x, -y）、（-x, y）和（-x, -y）。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性 得到整个椭圆。在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点 坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求 解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和 Bresenham椭圆生成算法。1、 中点画椭圆法中点在坐标原点，焦点在坐标轴上 （轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化 方程形式：F（x, y） = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0 （方程 1）无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介 绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果 某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y 方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来 好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增 量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：
图（2）第一象限椭圆弧示意图
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