首页 / 软件开发 / 数据结构与算法 / 算法系列（十一） 圆生成算法

算法系列（十一） 圆生成算法2014-04-30 csdn博客 吹泡泡的小猫在平面解析几何中，圆的方程可以描述为（x – x0）2 + （y – y0）2 = R2，其中（x0, y0）是圆心坐 标，R是圆的半径，特别的，当（x0, y0）就是坐标中心点时，圆方程可以简化为x2 + y2 = R2。在计算 机图形学中，圆和直线一样，也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描 转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的圆的生成，对于中心不是原点的圆，可以通过坐标的 平移变换获得相应位置的圆。

在进行扫描转换之前，需要了解一个圆的特性，就是圆的八分对 成性。如图（1）所示：

图（1）圆的八分对称性

圆心位于原点的圆有四条对称轴x = 0、y = 0、x = y和x = -y，若已知圆弧上一点P（x，y），就可以得到其关于四条对称轴的七个对称点：（x, -y）、（-x, y） 、（-x, -y）、（y, x）、（y, -x）、（-y, x）、（-y, -x），这种性质称为八分对称性。因此只 要能画出八分之一的圆弧，就可以利用对称性的原理得到整个圆。

有几种较容易的方法可以得 到圆的扫描转换，首先介绍一下直角坐标法。已知圆方程：x2 + y2 = R2，若取x作为自变量，解出y ，得到：

y =

在生成圆时先扫描转换四分之一的圆周，让自变量x从0到R以单位步长增 加，在每一步时可解出y，然后调用画点函数即可逐点画出圆。但这样做，由于有乘方和平方根运算， 并且都是浮点运算，算法效率不高。而且当x接近R值时（圆心在原点），在圆周上的点（R，0）附近， 由于圆的斜率趋于无穷大，因浮点数取整需要四舍五入的缘故，使得圆周上有较大的间隙。接下来介 绍一下极坐标法，假设直角坐标系上圆弧上一点P（x，y）与x轴的夹角是θ，则圆的极坐标方程为：

x = Rcosθ

y = Rsinθ

生成圆是利用圆的八分对称性，使自变量θ的取值范围 为（0，45°）就可以画出整圆。这个方法涉及三角函数计算和乘法运算，计算量较大。直角坐标法和极 坐标法都是效率不高的算法，因此只是作为理论方法存在，在计算机图形学中基本不使用这两种方法 生成圆。下面就介绍几种在计算机图形学中比较实用的圆的生成算法。

1、中点画圆法

首先是中点画圆法，考虑圆心在原点，半径为R的圆在第一象限内的八分之一圆弧，从点（0, R）到点 （R/ , R/ ）顺时针方向确定这段圆弧。假定某点Pi（xi, yi）已经是该圆弧上最接近实际圆弧的点， 那么Pi的下一个点只可能是正右方的P1或右下方的P2两者之一，如图（2）所示：

图（2）中点划线法示例