UVA 10254 - The Priest Mathematician （dp | 汉诺塔 | 找规律 | 大数）

UVA 10254 - The Priest Mathematician （dp | 汉诺塔 | 找规律 | 大数）2014-01-05 csdn shuangde800题意：

汉诺塔游戏请看百度百科：http://baike.baidu.com/view/191666.htm

正常的汉诺塔游戏是只有3个柱子，并且如果有n个圆盘，至少需要2^n-1步才能达到目标。

但是在这题中，有4根柱子，并且按照下面规则来玩：

1. 先把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子上，

2. 然后把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上（假设是a柱），

3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上。

问按照这样的规则，最少需要几步？

思路：

我们先设g[n]表示按照经典的游戏规则（3根柱子），n个盘子最少需要g[n]步，可以知道g[n] = 2^n-1

然后我们再设f[n]表示按照4根柱子的规则来，n个盘子最少需要f[n]步。

那么按照上面步骤可以推出：

1. 把圆盘顶部前k个盘子全部搬到第四根柱子上 ==》需要f[k]步

2. 把剩下的n-k个盘子在前3根柱子中按照经典的规则搬到某个柱子上（假设是a柱） ==》需要g[n-k]步

3. 最后再把那k个盘子搬到目标a柱上 ==》需要f[k]步

所以，f[n] = f[k]*2+g[n-k]

因为f[n]要最小，且k不确定，所以枚举一下k，取最小值即可：

f[n] = min{ f[k]*2+g[n-k] , 1<=k<=n }

由于n过大，所以要用到大数。

由于本题的n为10000，上面的算法复杂度为 O（n^2），所以不能用上面方法。

那么就打表找规律一下，并不难找

观察下面前20个，不难找出规律：

f[1] = 1----------------f[2] = 3,f[2] = f[1] + 2^1f[3] = 5,f[3] = f[2] + 2^1共 2 个 2^1----------------f[4] = 9,f[4] = f[3] + 2^2f[5] = 13,f[5] = f[4] + 2^2f[6] = 17,f[6] = f[5] + 2^2共 3 个 2^2----------------f[7] = 25,f[7] = f[6] + 2^3f[8] = 33,f[8] = f[7] + 2^3f[9] = 41,f[9] = f[8] + 2^3f[10] = 49,f[10] = f[9] + 2^3共 4 个 2^3----------------f[11] = 65,f[11] = f[10] + 2^4f[12] = 81,f[12] = f[11] + 2^4f[13] = 97,f[13] = f[12] + 2^4f[14] = 113,f[14] = f[13] + 2^4f[15] = 129,f[15] = f[14] + 2^4共 5 个 2^4----------------f[16] = 161,f[16] = f[15] + 2^5f[17] = 193,f[17] = f[16] + 2^5f[18] = 225,f[18] = f[17] + 2^5f[19] = 257,f[19] = f[18] + 2^5f[20] = 289,f[20] = f[19] + 2^5共 6 个 2^5----------------

代码：

/**===========================================*This is a solution for ACM/ICPC problem.**@author: shuangde*@blog: http://blog.csdn.net/shuangde800 *@email: zengshuangde@gmail.com*============================================*/import java.math.*;import java.util.Scanner;public class Main {public static void main（String args[]）{BigInteger f[] = new BigInteger[10010];f[0] = BigInteger.valueOf（0）;f[1] = BigInteger.valueOf（1）;int i = 2;int k=1;while（i <= 10000）{BigInteger add = BigInteger.valueOf（1）.shiftLeft（k）;for（int j=0; j<k+1 && i<=10000; ++j）{f[i] = f[i-1].add（add）;++i;}++k;}Scanner cin = new Scanner（System.in）;while（cin.hasNext（））{int n = cin.nextInt（）;System.out.println（f[n]）; }}}