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计算机系统原理（十二） 浮点数的舍入、Java中舍入例子及浮点数运算2014-08-22

前言

上一章我们简单介绍了IEEE浮点标准，本次我们主要讲解一下浮点运算舍入的问题，以及简单的介绍浮点数的运算。

之前我们已经提到过，有很多小数是二进制浮点数无法准确表示的，因此就难免会遇到舍入的问题。这一点其实在我们平时的计算当中会经常出现，就比如之前我们提到过的0.3，它就是无法用浮点小数准确表示的。

为此LZ专门写了一个小程序，使用Java语言打印出了0.3的二进制表示，是这样的一个数字，0 01111101 00110011001100110011010。我们来简单算一下，这个数值大约是多少。它的阶码在偏置之后的值为-2，它的尾数位在加1之后为1 + 1/8 + 1/16 + 1/128 + 1/256 = 1.19921875。后面还有有效位，不过我们只大概计算一下，就不算那么精确了，最终算出来的值为0.2998046875。（LZ用计算器算的，0.0）

可以看出，这个值离0.3已经非常接近了，而且我们还省略了一小部分有效小数位，但是不管怎么说，二进制无法像十进制小数一样，准确的表示0.3这个数值。因此舍入这一部分是浮点数无法逃脱的内容。

浮点数舍入

在我们平时日常使用的十进制当中，我们一般对一个无理数或者有位数限制的有理数进行舍入时，大部分时候会采取四舍五入的方式，这算是一种比较符合我们期望的舍入方式。

不过针对浮点数来说，我们的舍入方式会更丰富一些。一共有四种方式，分别是向偶数舍入、向零舍入、向上舍入以及向下舍入。

这四种舍入方式都不难理解，其中向偶数舍入就是向最靠近的偶数舍入，比如将1.5舍入为2，将0.1舍入为0。而向零舍入则是向靠近零的值舍入，比如将1.5舍入为1，将0.1舍入为0。对于向上舍入来说，则是往大了（也就是向正无穷大）舍入的意思，比如将1.5舍入为2，将-1.5舍入为-1。而向下舍入则与向上舍入相反，是向较小的值（也就是向负无穷大）舍入的意思。

这里需要提一下的是，除了向偶数舍入以外，其它三种方式都会有明确的边界。这里的含义是指这三种方式舍入后的值x"与舍入之前的值x会有一个明确的大小关系，比如对于向上舍入来说，则一定有x <= x"。对于向零舍入来说，则一定有|x| >= |x"|。

对于向偶数舍入来讲，它最大的作用是在统计时使用。向偶数舍入可以让我们在统计时，将舍入产生的误差平均，从而尽可能的抵消。而其它三种方式在这方面都是有一定缺陷的，向上和向下舍入很明显，会造成值的偏大或偏小。而对于向零舍入来讲，如果全是正数的时候则会造成结果偏小，全是负数的时候则会造成结果偏大。

通常情况下我们采取的舍入规则是在原来的值是舍入值的中间值时，采取向偶数舍入，在二进制中，偶数我们认为是末尾为0的数。而倘若不是这种情况的话，则一般会有选择性的使用向上和向下舍入，但总是会向最接近的值舍入。其实这正是IEEE采取的默认的舍入方式，因为这种舍入方式总是企图向最近的值的舍入。

比如对于10.10011这个值来讲，当舍入到个位数时，会采取向上舍入，因此此时的值为11。当舍入到小数点后1位时，会采取向下舍入，因此此时的值为10.1。当舍入到小数点后4位时，由于此时为10.10011舍入值的中间值，因此采用向偶数舍入，此时舍入后的值为10.1010。

Java当中的浮点数舍入

之前我们讲解了一堆舍入的方式，最终我们给出一个结论，就是IEEE标准默认的舍入方式，是企图向最近的值舍入（Round to the Nearest Value）。

上面我们已经详细的解释了IEEE标准中默认的舍入方式（黑色加粗的那部分解释），但是估计还是会有不少猿友比较迷糊，书中也没有给出具体的例子，因此这里LZ以Java语言为例，我们直接写程序来看一下，看看Java当中的舍入方式是否是按照我们所说的进行的。

在各位看这个测试程序之前，LZ需要再给各位再解释一下中间值的概念。中间值就是指的，比如1.1（二进制）这个数字，假设要舍入到个位，那么它就是一个中间值，因为它处于1（二进制）和10（二进制）的中间，在这个时候将会采用向偶数舍入的方式。

下面便是LZ写的测试程序，其中那些具体的浮点数值是使用二进制小数的算法计算出来的，各位猿友不必在意，如果你不嫌麻烦，也可以自己手算一下。我们主要看的是最终的舍入情况。

public class Main{public static void main（String[] args）{System.out.println（"舍入前: 10.10011111111111111111101"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（2.62499964237213134765625f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前: 10.10011111111111111111111"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（2.62499988079071044921875f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前: 10.10011111111111111111101011"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（2.62499968707561492919921875f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前: 10.10011111111111111111100011"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（2.62499956786632537841796875f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前:-10.10011111111111111111101"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（-2.62499964237213134765625f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前:-10.10011111111111111111111"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（-2.62499988079071044921875f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前:-10.10011111111111111111101011"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（-2.62499968707561492919921875f）;System.out.println（）;System.out.println（"舍入前:-10.10011111111111111111100011"）;System.out.print（"舍入后:"）;printFloatBinaryString（-2.62499956786632537841796875f）;System.out.println（）;}public static void printFloatBinaryString（Float f）{char[] binaryChars = getBinaryChars（f）;for （int i = 0; i < binaryChars.length; i++） {System.out.print（binaryChars[i]）;if （i == 0 || i == 8） {System.out.print（" "）;}}System.out.println（）;}public static char[] getBinaryChars（Float f）{char[] result = new char[32];char[] binaryChars = Integer.toBinaryString（Float.floatToIntBits（f））.toCharArray（）;if （binaryChars.length < result.length） {System.arraycopy（binaryChars, 0, result, result.length - binaryChars.length, binaryChars.length）;for （int i = 0; i < result.length - binaryChars.length; i++） {result[i] = "0";}}else {result = binaryChars;}return result;}}